برای پاسخ به این سوال، ابتدا باید شمارندههای عدد ۳۶۰ را پیدا کنیم و سپس شمارندههایی که بر ۵ بخشپذیر هستند را مشخص کنیم.
1. ابتدا نحوه تجزیه عدد ۳۶۰ به عوامل اول را انجام میدهیم:
\[
360 = 36 \times 10 = 6 \times 6 \times 2 \times 5 = (2 \times 3) \times (2 \times 3) \times 2 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1
\]
بنابراین، تجزیه عدد ۳۶۰ به عوامل اول برابر است با \( 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \).
2. حال تعداد کل شمارندههای ۳۶۰ را محاسبه میکنیم. برای محاسبه تعداد شمارندهها، از فرمول زیر استفاده میکنیم:
اگر عدد \( n \) به صورت \( p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times ... \times p_m^{k_m} \) تجزیه شود، تعداد شمارندههای آن برابر است با:
\[
(k_1 + 1)(k_2 + 1)...(k_m + 1)
\]
برای عدد ۳۶۰ داریم:
\[
(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 \times 3 \times 2 = 24
\]
بنابراین، تعداد کل شمارندههای ۳۶۰ برابر با ۲۴ است.
3. حالا باید شمارندههای ۳۶۰ که بر ۵ بخشپذیر هستند را پیدا کنیم. برای اینکه یک شمارنده بر ۵ بخشپذیر باشد، باید شامل حداقل یک عامل ۵ باشد.
این بدان معناست که به صورت عمومی به شمارندههای ۳۶۰ که از \( 2^a \times 3^b \times 5^1 \) شکل گرفتهاند نگاه میکنیم، که در آن \( a \) میتواند هر مقداری بین 0 تا 3 و \( b \) میتواند هر مقداری بین 0 تا 2 باشد.
تعداد گزینهها برای \( a \) و \( b \) به صورت زیر است:
- برای \( a \): \( 0, 1, 2, 3 \) (که ۴ گزینه است)
- برای \( b \): \( 0, 1, 2 \) (که ۳ گزینه است)
- و همچنین یک گزینه برای \( 5^1 \) که از آن استفاده میشود.
بنابراین تعداد شمارندههای ۳۶۰ که بر ۵ بخشپذیر هستند برابر خواهد بود با:
\[
4 \times 3 \times 1 = 12
\]
بنابراین، تعداد شمارندههای ۳۶۰ که بر ۵ بخشپذیر هستند ۱۲ تا است.
